GEOMETRÍA ESPACIAL

Definiciones básicas Poliedro: sólido conformado por caras planas. Es cóncavo cuando el volumen se sitúa a un mismo lado del plano de cualquiera de sus caras. Las intersecciones entre las caras se llaman aristas, y el punto en el cual se tocan las aristas se llama vértice. Son poliedros:

Prismas y antiprismas                                                           infinitos

Pirámides, dipirámides y deltoedros                                      infinitos

Sólidos platónicos                                                                        5

Sólidos arquimédicos                                                                 13

Sólidos catalanes                                                                       13

Sólidos de Johnson                                                                   92

Hipersólidos: son los sólidos de cuarta dimensión. Son 6: hipertetraedro, hipercubo, hiperoctaedro, hiperdodecaedro, hipericosaedro e hipercuboctaedro.

Ángulo poliedro: es la sumatoria de los ángulos de las aristas que confluyen en un vértice. En los sólidos convexos este ángulo siempre es menor de 360. Al desarrollar en un plano estas caras el ángulo formado por las aristas que no se tocan es el faltante que, sumado al ángulo poliedro (o diedro), da 360. El ángulo poliedro del icosaedro es 300, faltan 60 para ser plano. Cuando el ángulo poliedro es 360 se tiene un plano. Si éste es mayor de 360 se tiene una superficie anticlástica, no desarrollable en un plano con curvatura en sentidos opuestos.

Teorema de Euler: en todo poliedro convexo el número de las caras C más el número de vértices V es igual al número de aristas A más dos.

C + V = A + 2

Nomenclatura: el prefijo tiene raíz griega, y se refiere a la cantidad de caras que tiene el sólido.

TETTARES	TETRA	TRES
HEXA	HEXA	SEIS
DODEKA	DODECA	DOCE
EIKOSA	ICOSA	VEINTE
OKTO	OCTA	OCHO

El sufijo edro viene del griego hedra, que significa cara o base. El sufijo kis significa el número de subdivisiones ya sea de una cara o de una arista así un “dodecaedro pentakis” consiste en dividir en 5 las 12 caras del dodecaedro dando como resultado 60 caras de triángulos isóceles.

Truncación: procedimiento a través del cual se corta un polígono o sólido, bien sea por un vértice o por una arista.

Estelación: en dos dimensiones es el procedimiento mediante el cual se le coloca un triángulo sobre cada uno de los lados de un polígono. En tres dimensiones consiste en la colocación de una pirámide sobre las caras de un poliedro.

Frecuencia: consiste en la división de los lados de un polígono y su proyección en un círculo. O bien en la división de las caras de un sólido (poliedro) y su proyección en una esfera, cuando se trata de tres dimensiones. O también en la división de los volúmenes de un hipersólido y su proyección en una hiperesfera.

Dualidad: es la particular correspondencia entre el número de caras con el número de vértices en dos poliedros. Es decir que cada centro de cada cara de un sólido constituye un vértice del poliedro dual.

            

Prismas y antiprismas.

Los prismas son poliedros conformados por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, unidos por paralelogramos que conforman las caras laterales del prisma. Al extruir un polígono regular se obtiene un prisma.

Al extruír el mismo polígono y además rotarlo se obtiene un antiprisma, que puede tener caras planas (triángulos) o alabeadas (paraboloides hiperbólicos).

Pirámides y dipirámides

Las pirámides son sólidos que tienen por base un poliedro cualquiera y, siendo sus caras triangulares, se juntan en un solo punto llamado vértice. Al unir dos pirámides por el polígono de base el sólido resultante es una dipirámide. La apotema es la línea perpendicular a uno de los lados de la base desde el vértice de la pirámide. Son regulares cuando la base es un polígono regular y las caras laterales son triángulos isósceles iguales.

Sólidos platónicos

Son aquellos cuyas caras están constituidas por un solo poliedro regular (todas las aristas tienen la misma longitud).

Son 5:

1. Tetraedro (3,3) tres triángulos por vértice

2. Cubo (Hexaedro) (4,3) tres cuadrados por vértice

3. Octaedro (3,4)  cuatro triángulos por vértice

4. Icosaedro (3,5) cinco triángulos por vértice

5. Dodecaedro (5,3) tres pentágonos por vértice

Poliedro	Caras	Aristas	Vértices	Ángulo Poliedro
Tetraedro	4	6	4	180°   3 x 360°
Cubo	6	12	8	270°    3 x 90°
Octaedro	8	12	6	240°    4 x 60°
Icosaedro	20	30	12	300°    5 x 60°
Dodecaedro	12	30	20	324°  3 x 108°